Тема: «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Введение.    3
1. Дифференциал функции    5
1.1.Геометрический смысл дифференциала.    5
1.2. Свойства дифференциала.    6
1.3. Дифференциал сложной функции.    6
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения.    6
3. Дифференциальные уравнения первого порядка.    12
3.1. Основные  определения дифференциальных уравнений первого порядка    13
3.2. Уравнения с разделяющимися переменными    14
3.3. Примеры    15
Заключение    19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ    20

Часть работы

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Дифференциальное исчисление

 Эпохой создания Дифференциальное исчисление как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость — флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.

В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Дифференциальное исчисление Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла ydx, ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие Дифференциальное исчисление шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующим этапом в развитии Дифференциальное исчисление были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Дифференциальное исчисление производную. Лагранж пытался строить Дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у' или f' (x). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Дифференциальное исчисление на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Дифференциальное исчисление был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 — начале 20 вв.

Задача данной работы рассмотреть определение дифференциала и подробно разобраться в теме дифференциальные уравнения первого порядка. Так же привести несколько практических примеров решения таких типов задач.